ESCOLA
Curso técnico de electrónica/telecomunicações:
Trabalho de electrónica:
Módulo: 2
(Lei dos Nós e Lei da Malhas)
Trabalho realizado por:
Nome:….
Numero: …….
Índice:
Introdução -----------------------------3
Circuito --------------------------------4
Lei dos Nós ----------------------------7
Lei das Malhas ------------------------10
Leis de Kirchhoff ---------------------12
Principio de Sobreposição ------------13
Conclusão -----------------------------15
Bibliografia ---------------------------15
Introdução:
Este Trabalho surgiu no âmbito da disciplina de Electrónica, do módulo 2.
O objectivo deste trabalho é explicar a aplicação das leis das Malhas e leis dos Nós.
Circuito:
Um circuito é, normalmente, constituído por vários elementos ligados entre si, de forma que exista pelo menos um percurso fechado por onde a corrente possa circular.
Considere-se o circuito representado na Figura 1 constituído por uma fonte e 3 elementos.
Figura 1 – Circuito com uma fonte e 3 elementos
Para formar este circuito, efectuaram-se várias ligações entre os terminais dos elementos; cada uma destas ligações designa-se por “nó”. Assim:
§ Um dos terminais da fonte foi ligado a um dos terminais do elemento 1 (nó A)
Outro terminal do elemento 1 foi ligado a um terminal do elemento 2 e a um terminal do elemento 3 (nó B)
§ Finalmente, os outros terminais dos elementos 2 e 3 foram ligados ao restante terminal da fonte, fechando o circuito (nó C)
Esquematicamente, o circuito pode ser redesenhado da forma que se representa na figura seguinte:
Figura 2 – Circuito da Figura 1 redesenhado
Esquematicamente, é como se o nó B tivesse sido “esticado” subdividindo-se agora em B1 e B2; como o potencial de um ponto é único, a diferença de potencial entre B1 e B2 é nula; esquematicamente, é como se existisse um condutor perfeito a ligar estes dois pontos. Os pontos B1 e B2 constituem um único nó. Idêntica explicação se pode dar relativamente ao nó C. O circuito representado tem apenas 3 nós: nó A, B e C.
Além dos nós, podem ainda identificar-se num circuito um ou mais percursos fechados onde a corrente pode circular; cada um destes percursos designa-se por “malha”.
O circuito representado tem 3 malhas, tal como indicado na figura seguinte.
Figura 3 – Identificação das malhas do circuito da Figura 1
§ A malha representada, a vermelho que passa pelo elemento 1, pelo elemento 3 e se fecha pela fonte;
§ A malha representada a azul, que passa pelo elemento 1 pelo elemento 2 e se fecha pela fonte;
§ E finalmente, a malha representada a verde, que passa pelo elemento 3 e se fecha pelo elemento 2.
Qualquer um destes percursos é passível de ser percorrido pela corrente eléctrica.
Leis dos nós:
Apenas com o conhecimento dos elementos que constituem o circuito e respectivas equações características (ver, Componentes Elementares), não é possível determinar a totalidade das tensões e correntes presentes num circuito. Será ainda necessário o conhecimento de duas importantes leis, conhecidas como Leis de Kirchhoff.
Figura 4 – Esquema representativo da Lei dos Nós
A Lei dos Nós determina que, em qualquer instante, é nula a soma algébrica das correntes que entram num qualquer nó.
De acordo com as correntes representadas na Figura 4, a lei dos nós permite obter a equação:
Note-se que se considerou o simétrico das correntes e uma vez que o seu sentido de referência representado é o de saída do nó. Obter-se-ia uma equação equivalente se, no enunciado da lei dos nós, a palavra “entram” fosse ser substituída pela palavra “saem”.
Se, em algum instante, a soma das correntes que entram no nó não fosse nula, isso quereria dizer que o nó estava a acumular carga (pois corrente, é um deslocamento de cargas). Contudo, um nó é um condutor perfeito e, portanto, não pode armazenar carga.
Figura 5 – Correntes do circuito
Relativamente ao circuito representado na figura seguinte, a aplicação da Lei dos nós conduz a:
§ No nó A
§ No nó B
§ No nó C
Das 3 equações representadas, apenas duas são linearmente independentes.
Existindo N nós no circuito, a Lei dos Nós permite escrever equações linearmente independentes.
A primeira equação permite afirmar que a corrente que sai da fonte é igual à corrente que entra no elemento 1; por outras palavras, a fonte e o elemento 1 são percorridos pela mesma corrente. Nesta situação, diz-se que a fonte e o elemento 1 estão ligados em série.
Lei das malhas:
A Lei das Malhas determina que, em qualquer instante, é nula a soma algébrica das tensões ao longo de qualquer malha.
Figura 6 – Esquema representativo da Lei das Malhas
De acordo com o sentido de referência das tensões representadas na figura anterior e circulando no sentido dos ponteiros do relógio, a lei das malhas permite obter a equação:
Note-se que se considerou o simétrico das tensões e uma vez que o seu sentido de referência representado é o oposto ao de circulação. Não é determinante escolher o sentido horário ou o anti-horário, pois as equações obtidas de uma ou outra forma são exactamente equivalentes.
Figura 7 – Malhas do circuito
O somatório das tensões ao longo da malha ser nulo, equivale a dizer que é nulo o trabalho necessário para deslocar uma carga ao longo da malha fechada. Isto acontece porque o sistema é conservativo.
Relativamente ao circuito representado na figura 7, a aplicação da Lei das Malhas conduz a:
§ Na malha vermelha e circulando no sentido horário
§ Na malha azul e circulando no sentido horário
§ Na malha verde e circulando no sentido horário
Das 3 equações representadas, apenas duas são linearmente independentes.
Existindo M malhas no circuito, a Lei das Malhas permite escrever equações linearmente independentes
A última equação permite afirmar que a tensão aos terminais do elemento 2 é igual à tensão aos terminais do elemento 3; por outras palavras, os dois elementos apresentam a mesma tensão aos seus terminais. Nesta situação, diz-se que os dois elementos estão ligados em paralelo.
Leis de Kirchhoff:
Nesta secção, apresenta-se o conceito de “nó” e “malha” de um circuito eléctrico. Enunciam-se as duas leis de Kirchhoff, Lei dos Nós e Lei das Malhas, cujas equações resultantes são necessárias para, em conjunto com as relações características de cada elemento (ver, Componentes Elementares), determinar o conjunto das diferentes tensões e correntes presentes num circuito (ver, Circuitos Lineares). Com base nas Leis de Kirchhoff define-se ligação série e a ligação paralelo entre dois dipolos.
Princípio de sobreposição:
O princípio de sobreposição enuncia-se do seguinte modo:
A corrente (ou tensão) gerada numa determinada porção dum circuito é a soma algébrica das correntes (ou tensões) provocadas por cada uma das fontes do circuito consideradas isoladamente, por outras palavras, a corrente num determinado elemento dum circuito pode-se calcular somando a corrente provocada nesse elemento por cada uma das fontes do circuito isoladamente desligando todas as outras.
Exemplo: dado o circuito da figura 3.4, determine a tensão , por aplicação do teorema de sobreposição
Figura 3.4: circuito com duas fontes independentes.
Vamos então considerar primeiro só a fonte de tensão, i.e., vamos desligar a fonte de corrente, o que equivale a substitui-la por um circuito aberto. Nesse caso obtemos apenas uma malha fechada com uma fonte de tensão de 3 V e duas resistências. A corrente que circula na malha é dada por A. Então podemos escrever a tensão V. Agora vamos desligar a fonte de tensão o que corresponde a substitui-la por um curto-circuito, ficando apenas a fonte de corrente debitando em duas resistências em paralelo. Podemos então escrever a tensão devida à fonte de corrente que é V.
Então a tensão total V.
Conclusão:
Com este trabalho fiquei a saber mais sobre A Lei das Malhas e Lei dos Nos.
Este tema insere-se no meu plano curricular na disciplina de Electrónica. É o módulo 2 no qual é importante para a realização do curso mas também para a minha aprendizagem.
Bibliografia:
Apontamentos da disciplina de Electrónica do módulo 2.
Leis de Kirchhoff.
Lei dos Nós.
Lei das Malhas.
Principio de Sobreposição.
segunda-feira, 22 de outubro de 2007
quinta-feira, 4 de outubro de 2007
codigo do trabalho
Escola profissional de Trancoso
Trabalho da disciplina: ..........
Módulo: 12
O Aluno: ..............
Curso: ................
Número: ............
Índice:
Introdução -----------------------------3
O Direito ------------------------------4
Normas Jurídicas ------------------------5
Sanções Jurídicas ------------------------6
Elementos constituintes do Estado -----------6
Os Órgãos de Soberania -------------------6
Presidente da Republica --------------------7
Assembleia da Republica --------------------9
Governo --------------------------------10
Funções Executivas -----------------------11
Tribunais -------------------------------11
Função Judicial --------------------------12
Conclusão ------------------------------13
Bibliografia -----------------------------13
Introdução:
Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Área de Integração e tem como tema:
“O Direito como ordem Social Normativa”.
Com a realização deste trabalho pretendo dar-me a conhecer um pouco mais sobre um assunto de grande importância. Para isso, são desenvolvidas as seguintes definições hierárquicas.
O DIREITO:
O direito pode ser utilizado em dois sentidos:
O primeiro, o que se refere à norma estabelecida na lei, ou seja, a regra jurídica; e o segundo, o que se refere à faculdade, que todos temos, de exigir um determinado comportamento alheio, em defesa de nossos direitos. Assim, o Direito, no sentido de direito objectivo, é um preceito hipotético e abstracto, destinado a regulamentar o comportamento humano na sociedade, que lhe é atribuída pela própria sociedade. Essa força, inerente apenas à norma jurídica, significa que a organização social, o Estado, interfere, ou deve interferir, para que o preceito legal seja obedecido. Para essa finalidade, a regra jurídica contém, normalmente, além do mandamento regulamentador da conduta humana, uma outra disposição, aquela que estabelece as consequências para o caso de transgressão da norma. Essa outra disposição da regra jurídica se chama sanção.
Normas Jurídicas:
As Normas jurídicas podem ser caracterizadas:
· Gerais e abstractas
· Imperativas
· Coactivas
• Gerais e abstractas -As normas jurídicas são gerais porque se aplicam sempre a um grupo ou mais ou menos amplo de pessoas e não a uma pessoa em concreto. Por outro lado, são abstractas de casos ou situações e não a um caso ou situação em concreto.
• Imperativas -Significa que as normas jurídicas possuem o poder de impor ou ordenar um determinado comportamento, isto é contêm sempre regras de conduta sobre a forma de um comando.
• Coactivas – As normas jurídicas são coactivas porque o Estado tem o poder de impor sanções físicas aos violadores da norma, de forma a evitar ou diminuir os prejuízos dessas violações.
Sanções Jurídicas:
O direito procura realizar-se a todo o custo, isto é, o Estado procura fazer cumprir as leis nem que para isso tenha que recorrer ao uso força física (Coação).
Elementos constituintes do Estado:
Povo -Entende-se por povo toda a comunidade que se encontra ligado ao Estado por laços de natureza judicial e política.
Soberania -É o poder politico que confere ao estado a autoridade suprema, de criar e eleger próprias leis que permitam manter independência e a autonomia em relação a outros países.
Os órgãos de soberania são:
· Presidente da Republica
· Governo
· Tribunais
Presidente da República:
O Presidente da República é o órgão máximo da nação e, por inerência, o Comandante Supremo das Forças Armadas. Eleito por maioria absoluta por sufrágio universal, directo e secreto, o Presidente da República representa a República Portuguesa e garante a independência nacional, a unidade do Estado e o regular funcionamento das instituições democráticas.
Ao Presidente da República compete designadamente, nomear o Primeiro-ministro, dissolver a Assembleia da República (AR), promulgar e mandar publicar os diplomas legais e exercer o direito de veto sobre estes, submeter a referendo questões de relevante interesse nacional, indultar e comutar penas, declarar o estado de sítio ou de emergência, declarar a guerra e fazer a paz.
O Presidente da República tem como órgão político de consulta o Conselho de Estado, a que preside, composto pelos seguintes membros:
Primeiro-Ministro;
Presidente do Tribunal Constitucional;
Provedor de Justiça;
Presidente da Assembleia da República;
Presidentes dos governos regionais;
Os antigos presidentes da República eleitos na vigência da Constituição que não hajam sido destituídos do cargo;
Cinco cidadãos designados pelo Presidente da República pelo período correspondente à duração do seu mandato;
Cinco cidadãos eleitos pela Assembleia da República, de harmonia com o princípio da representação proporcional, pelo período correspondente à duração da legislatura.
Assembleia da República:
A Assembleia da República tem uma competência legislativa e política geral. A Constituição prevê que certas matérias constituam reserva absoluta de competência legislativa, isto é, a Assembleia não pode, sobre elas, autorizar o Governo a legislar. Entre estas inclui-se, por exemplo, a aprovação das alterações à Constituição, os estatutos político-administrativos
Função Legislativa - É a função pela qual o Estado cria as leis necessárias pelas quais se devem orientar os cidadãos disciplinado as relações que estabelece entre eles. Esta função cabe principalmente á assembleia da República.
Governo:
O Governo da República é um dos quatro órgãos de soberania da República Portuguesa. O órgão de condução da política geral do País e o órgão superior da administração pública. Também se chama Governo o conjunto de pessoas mandatadas pelo Presidente da República para assumirem a direcção do Governo da República, normalmente na sequência de eleições legislativas. Normalmente é chamado a formar governo o partido ou coligação de partidos que venceram as eleições. Estes governos são chamados Governos Constitucionais, para os distinguir dos Governos Provisórios.
O Governo tem funções políticas, legislativas e administrativas, isto é, entre outras coisas, negociar com outros Estados ou organizações internacionais, propor leis à Assembleia da República, estudar problemas e decidir sobre eles (normalmente fazendo leis), fazer regulamentos técnicos para que as leis possam ser cumpridas, decidir onde se gasta o dinheiro público, tomar decisões administrativas para o bem comum.
Funções Executivas:
Estas funções são da responsabilidade do governo, e consiste em o Estado dirige os superiores interesses da nação, tanto a nível interno como externo, adoptado nas políticas económicas, sociais e culturais com vista a melhorar as condições de vida e o bem-estar social do povo português.
Tribunais:
O Tribunal Constitucional compartilha as características próprias de todos os tribunais: é um órgão de soberania (artigo 202º da Constituição); é independente e autónomo, não está dependente nem funciona junto de qualquer órgão; os seus juízes são independentes as suas decisões impõem-se a qualquer outra autoridade. O Tribunal Constitucional tem a sua composição e competência definidas directamente na Constituição; os seus juízes são maioritariamente eleitos pela Assembleia da República; dispõe de autonomia administrativa e financeira e de orçamento próprio, inscrito separadamente entre os "encargos gerais do Estado"; e define, ele próprio, as questões relativas à delimitação da sua competência.
Função Judicial:
É a função pela qual o Estado soluciona, através das Policias e também dos tribunais os conflitos de interesses, aplicando as leis aos casos concretos.
Conclusão:
Com este trabalho fiquei a saber um pouco mais sobre os órgãos de soberania.
Este tema insere-se no nosso plano curricular na disciplina de Integração. É o módulo 12, tal como os outros são importantes para a realização do curso mas também para a nossa aprendizagem.
Bibliografia:
http://www.wikipedia.org/wiki/lei.pt
Apontamentos e manuais da matéria leccionada no módulo 12 na Área de Integração.
Trabalho da disciplina: ..........
Módulo: 12
O Aluno: ..............
Curso: ................
Número: ............
Índice:
Introdução -----------------------------3
O Direito ------------------------------4
Normas Jurídicas ------------------------5
Sanções Jurídicas ------------------------6
Elementos constituintes do Estado -----------6
Os Órgãos de Soberania -------------------6
Presidente da Republica --------------------7
Assembleia da Republica --------------------9
Governo --------------------------------10
Funções Executivas -----------------------11
Tribunais -------------------------------11
Função Judicial --------------------------12
Conclusão ------------------------------13
Bibliografia -----------------------------13
Introdução:
Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Área de Integração e tem como tema:
“O Direito como ordem Social Normativa”.
Com a realização deste trabalho pretendo dar-me a conhecer um pouco mais sobre um assunto de grande importância. Para isso, são desenvolvidas as seguintes definições hierárquicas.
O DIREITO:
O direito pode ser utilizado em dois sentidos:
O primeiro, o que se refere à norma estabelecida na lei, ou seja, a regra jurídica; e o segundo, o que se refere à faculdade, que todos temos, de exigir um determinado comportamento alheio, em defesa de nossos direitos. Assim, o Direito, no sentido de direito objectivo, é um preceito hipotético e abstracto, destinado a regulamentar o comportamento humano na sociedade, que lhe é atribuída pela própria sociedade. Essa força, inerente apenas à norma jurídica, significa que a organização social, o Estado, interfere, ou deve interferir, para que o preceito legal seja obedecido. Para essa finalidade, a regra jurídica contém, normalmente, além do mandamento regulamentador da conduta humana, uma outra disposição, aquela que estabelece as consequências para o caso de transgressão da norma. Essa outra disposição da regra jurídica se chama sanção.
Normas Jurídicas:
As Normas jurídicas podem ser caracterizadas:
· Gerais e abstractas
· Imperativas
· Coactivas
• Gerais e abstractas -As normas jurídicas são gerais porque se aplicam sempre a um grupo ou mais ou menos amplo de pessoas e não a uma pessoa em concreto. Por outro lado, são abstractas de casos ou situações e não a um caso ou situação em concreto.
• Imperativas -Significa que as normas jurídicas possuem o poder de impor ou ordenar um determinado comportamento, isto é contêm sempre regras de conduta sobre a forma de um comando.
• Coactivas – As normas jurídicas são coactivas porque o Estado tem o poder de impor sanções físicas aos violadores da norma, de forma a evitar ou diminuir os prejuízos dessas violações.
Sanções Jurídicas:
O direito procura realizar-se a todo o custo, isto é, o Estado procura fazer cumprir as leis nem que para isso tenha que recorrer ao uso força física (Coação).
Elementos constituintes do Estado:
Povo -Entende-se por povo toda a comunidade que se encontra ligado ao Estado por laços de natureza judicial e política.
Soberania -É o poder politico que confere ao estado a autoridade suprema, de criar e eleger próprias leis que permitam manter independência e a autonomia em relação a outros países.
Os órgãos de soberania são:
· Presidente da Republica
· Governo
· Tribunais
Presidente da República:
O Presidente da República é o órgão máximo da nação e, por inerência, o Comandante Supremo das Forças Armadas. Eleito por maioria absoluta por sufrágio universal, directo e secreto, o Presidente da República representa a República Portuguesa e garante a independência nacional, a unidade do Estado e o regular funcionamento das instituições democráticas.
Ao Presidente da República compete designadamente, nomear o Primeiro-ministro, dissolver a Assembleia da República (AR), promulgar e mandar publicar os diplomas legais e exercer o direito de veto sobre estes, submeter a referendo questões de relevante interesse nacional, indultar e comutar penas, declarar o estado de sítio ou de emergência, declarar a guerra e fazer a paz.
O Presidente da República tem como órgão político de consulta o Conselho de Estado, a que preside, composto pelos seguintes membros:
Primeiro-Ministro;
Presidente do Tribunal Constitucional;
Provedor de Justiça;
Presidente da Assembleia da República;
Presidentes dos governos regionais;
Os antigos presidentes da República eleitos na vigência da Constituição que não hajam sido destituídos do cargo;
Cinco cidadãos designados pelo Presidente da República pelo período correspondente à duração do seu mandato;
Cinco cidadãos eleitos pela Assembleia da República, de harmonia com o princípio da representação proporcional, pelo período correspondente à duração da legislatura.
Assembleia da República:
A Assembleia da República tem uma competência legislativa e política geral. A Constituição prevê que certas matérias constituam reserva absoluta de competência legislativa, isto é, a Assembleia não pode, sobre elas, autorizar o Governo a legislar. Entre estas inclui-se, por exemplo, a aprovação das alterações à Constituição, os estatutos político-administrativos
Função Legislativa - É a função pela qual o Estado cria as leis necessárias pelas quais se devem orientar os cidadãos disciplinado as relações que estabelece entre eles. Esta função cabe principalmente á assembleia da República.
Governo:
O Governo da República é um dos quatro órgãos de soberania da República Portuguesa. O órgão de condução da política geral do País e o órgão superior da administração pública. Também se chama Governo o conjunto de pessoas mandatadas pelo Presidente da República para assumirem a direcção do Governo da República, normalmente na sequência de eleições legislativas. Normalmente é chamado a formar governo o partido ou coligação de partidos que venceram as eleições. Estes governos são chamados Governos Constitucionais, para os distinguir dos Governos Provisórios.
O Governo tem funções políticas, legislativas e administrativas, isto é, entre outras coisas, negociar com outros Estados ou organizações internacionais, propor leis à Assembleia da República, estudar problemas e decidir sobre eles (normalmente fazendo leis), fazer regulamentos técnicos para que as leis possam ser cumpridas, decidir onde se gasta o dinheiro público, tomar decisões administrativas para o bem comum.
Funções Executivas:
Estas funções são da responsabilidade do governo, e consiste em o Estado dirige os superiores interesses da nação, tanto a nível interno como externo, adoptado nas políticas económicas, sociais e culturais com vista a melhorar as condições de vida e o bem-estar social do povo português.
Tribunais:
O Tribunal Constitucional compartilha as características próprias de todos os tribunais: é um órgão de soberania (artigo 202º da Constituição); é independente e autónomo, não está dependente nem funciona junto de qualquer órgão; os seus juízes são independentes as suas decisões impõem-se a qualquer outra autoridade. O Tribunal Constitucional tem a sua composição e competência definidas directamente na Constituição; os seus juízes são maioritariamente eleitos pela Assembleia da República; dispõe de autonomia administrativa e financeira e de orçamento próprio, inscrito separadamente entre os "encargos gerais do Estado"; e define, ele próprio, as questões relativas à delimitação da sua competência.
Função Judicial:
É a função pela qual o Estado soluciona, através das Policias e também dos tribunais os conflitos de interesses, aplicando as leis aos casos concretos.
Conclusão:
Com este trabalho fiquei a saber um pouco mais sobre os órgãos de soberania.
Este tema insere-se no nosso plano curricular na disciplina de Integração. É o módulo 12, tal como os outros são importantes para a realização do curso mas também para a nossa aprendizagem.
Bibliografia:
http://www.wikipedia.org/wiki/lei.pt
Apontamentos e manuais da matéria leccionada no módulo 12 na Área de Integração.
Geometria Analitica III- Conicas
Escola .........................
Geometria Analitica III- Conicas
Professor:
Avaliação:
nome..........
Curso: ............
Nº: ...........
Indice
Introdução
1-Elipse
1.1- Elementos
1.2- Relação fundamental
1.3- Excentricidade
1.4- Equações
2- Hipérbole
2.1- Elementos
2.2- Excentricidade
2.3- Equações
3- Hipérbole equilátera
3.1- Assíntotas da hipérbole
3.2- Equação
3.3- Parábola
3.4- Elementos
3.5- Equações
4- Conclusão
5-Bibliografia
Introdução
Este Trabalho surgiu no âmbito da disciplina de Matemática que nos é leccionada pelo professor Afrânio Almeida e tem como finalidade a reflexão do tema: Geometria Analitica III- Cónicas.
O objectivo deste trabalho é explicar a aplicação das Cónicas quando, onde e o porquê da sua aplicação.
Cónicas
1-Elipse
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < a2 ="b2" f1f2 =" 2c,"> a, temos e > 1.
2.3- Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
F1 (-c, 0)
F2 ( c, 0)
Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Nessas condições, a equação da hipérbole é:
3- Hipérbole equilátera
a = b
Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:
3.1- Assíntotas da hipérbole
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .
3.2- Equação
Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
b) eixo vertical e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
3.3- Parábola
Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
3.4- Elementos
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
foco: o ponto F
diretriz: a reta d
vértice: o ponto V
parâmetro: p
Então, temos que:
o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.
Assim, sempre temos .
DF =p
V é o ponto médio de
3.5- Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem equação e na parábola temos:
;
P(x, y);
dPF = dPd ( definição);
obtemos, então, a equação da parábola:
y2 = 2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
Nessas condições, a equação da parábola é:
y2 = -2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical
x2=2py
x2= - 2py
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
4- Conclusão
Com este trabalho fiquei a saber mais sobre geometria analitica, em especial sobre o sub-tema cónicas.É um tema que se insere em geomretia, calculos de ângulos…
Este tema insere-se no nosso plano curicular na discipina de matematica. E o ultimo módulo de matemática e tal como os outros importante para a realização do curso mas também para a nossa aprendizagem.
5-Bibliografia
Geometria Analitica III- Conicas
Professor:
Avaliação:
nome..........
Curso: ............
Nº: ...........
Indice
Introdução
1-Elipse
1.1- Elementos
1.2- Relação fundamental
1.3- Excentricidade
1.4- Equações
2- Hipérbole
2.1- Elementos
2.2- Excentricidade
2.3- Equações
3- Hipérbole equilátera
3.1- Assíntotas da hipérbole
3.2- Equação
3.3- Parábola
3.4- Elementos
3.5- Equações
4- Conclusão
5-Bibliografia
Introdução
Este Trabalho surgiu no âmbito da disciplina de Matemática que nos é leccionada pelo professor Afrânio Almeida e tem como finalidade a reflexão do tema: Geometria Analitica III- Cónicas.
O objectivo deste trabalho é explicar a aplicação das Cónicas quando, onde e o porquê da sua aplicação.
Cónicas
1-Elipse
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < a2 ="b2" f1f2 =" 2c,"> a, temos e > 1.
2.3- Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
F1 (-c, 0)
F2 ( c, 0)
Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Nessas condições, a equação da hipérbole é:
3- Hipérbole equilátera
a = b
Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:
3.1- Assíntotas da hipérbole
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .
3.2- Equação
Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
b) eixo vertical e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
3.3- Parábola
Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
3.4- Elementos
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
foco: o ponto F
diretriz: a reta d
vértice: o ponto V
parâmetro: p
Então, temos que:
o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.
Assim, sempre temos .
DF =p
V é o ponto médio de
3.5- Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem equação e na parábola temos:
;
P(x, y);
dPF = dPd ( definição);
obtemos, então, a equação da parábola:
y2 = 2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
Nessas condições, a equação da parábola é:
y2 = -2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical
x2=2py
x2= - 2py
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
4- Conclusão
Com este trabalho fiquei a saber mais sobre geometria analitica, em especial sobre o sub-tema cónicas.É um tema que se insere em geomretia, calculos de ângulos…
Este tema insere-se no nosso plano curicular na discipina de matematica. E o ultimo módulo de matemática e tal como os outros importante para a realização do curso mas também para a nossa aprendizagem.
5-Bibliografia
Funções Exponenciais e Logarítmicas
jexhebxkck jekwck2ndc 2 cl2kjc lfj2elkdj 2d eldj Escola Profissional de Trancoso
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Professor:
Avaliação:
Francisco Morais Nº7604
3º Electrónica/Telecomunicações
Índice
1-Introdução
2-Função Exponencial
3-Função Logarítmica
4-Conclusão
5-Bibliografia
Introdução
Este Trabalho surgiu no âmbito da disciplina de Matemática que nos é leccionada pelo professor Afrânio Almeida e tem como finalidade a reflexão do tema:Funções Exponenciasi e Logarítimicas.
O objectivo deste trabalho é explicar a aplicação das Funções Exponenciais e Logarítimicas quando, onde e o porquê da sua aplicação.
Função Logarítimica e Exponencial
2-Função Exponencial
A expressão matemática que define a função exponencial é uma potência. Nesta potência a base é constante e o expoente é uma variável.
Chamamos exponencial de base b > 0 à função
R R
de maneira que temos:
ou então:
ou ainda:
Vejamos as principais características da função exponencial:
1. f é contínua, o seu domínio é R e o seu contradomínio é ;
2. f é crescente se b > 1 e é decrescente se b < 1;
3. f (0) = 1 e f (1) = b;
4. Os gráficos de
e de
são simétricos em relação ao eixo OY;
Como exemplo, observemos os gráficos seguintes:
5. Os limites de qualquer função exponencial são:
Estes limites também serão diferentes conforme os valores de b. Observemos os seguintes gráficos, onde encontramos funções cujo valor de b é maior do que 1 ou está compreendido entre 0 e 1, e vejamos como se comporta cada tipo de função quando os valores de x aumentam ou diminuem:
No gráfico, se o valor de x aumentar cada vez mais, a função tomará valores cada vez maiores. Se o valor de x diminuir cada vez mais, a função assume valores cada vez mais pequenos e mais próximos de 0, sempre pelo lado positivo do eixo OY.
No gráfico, se o valor de x aumentar cada vez mais, a função assume valores cada vez mais pequenos e mais próximos de 0 pelo lado positivo do eixo OY. Se o valor de x diminuir a função assume valores cada vez maiores.
3-Função Logarítmica
A expressão matemática que define a função logarítmica é um logaritmo. No logaritmo a base é constante e o valor de x é o termo variável.
Chamamos logaritmo de base b > 0 à função:
de maneira que:
ou então:
Podemos definir a função logaritmo como a função inversa da função exponencial, sempre que b > 1. Os gráficos destas funções são simétricos em relação à bissectriz y = x, como podemos ver na figura:
Observando o gráfico da função logarítmica, verificamos que as principais características deste tipo de funções serão:
1. Sobre o eixo X existem três regiões ou espaços diferentes:
onde a função logarítmica não está definida,
onde o logaritmo é negativo,
onde o logaritmo tem um valor positivo;
2. A função é contínua e crescente;
3. O seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e o seu conjunto de imagens é o conjunto de todos os números reais;
4. O logaritmo de 1 na base b é igual a 0;
5. Se o valor de x se aproximar de zero pelo lado positivo do eixo OY, a função assume valores cada vez mais pequenos, ou seja:
Se o valor de x aumentar cada vez mais a função assumirá valores cada vez maiores, isto é:
Os logaritmos podem também definir-se de forma mais "aritmética", de forma a facilitar o seu cálculo. Temos que o logaritmo de um número numa base b > 1 é o expoente a que se tem de elevar a base para obter o número, isto é,
Por último, vamos enunciar algumas das propriedades algébricas particulares dos logaritmos:
1. Logaritmo de um produto:
2. Logaritmo de um quociente:
3. Logaritmo de uma potência:
4. Logaritmo de uma raíz:
5. Mudança de base de logaritmos:
4-Conclusão
Com este trabalho fiquei a saber mais sobre funções, em especial sobre os sub-temas funções exponenciais e logaritimicas.
Este tema insere-se no nosso plano curicular na discipina de matematica. E o ultimo módulo de matemática e tal como os outros importante para a realização do curso mas também para a nossa aprendizagem.
5-Bibliografia
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp4.htm
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Professor:
Avaliação:
Francisco Morais Nº7604
3º Electrónica/Telecomunicações
Índice
1-Introdução
2-Função Exponencial
3-Função Logarítmica
4-Conclusão
5-Bibliografia
Introdução
Este Trabalho surgiu no âmbito da disciplina de Matemática que nos é leccionada pelo professor Afrânio Almeida e tem como finalidade a reflexão do tema:Funções Exponenciasi e Logarítimicas.
O objectivo deste trabalho é explicar a aplicação das Funções Exponenciais e Logarítimicas quando, onde e o porquê da sua aplicação.
Função Logarítimica e Exponencial
2-Função Exponencial
A expressão matemática que define a função exponencial é uma potência. Nesta potência a base é constante e o expoente é uma variável.
Chamamos exponencial de base b > 0 à função
R R
de maneira que temos:
ou então:
ou ainda:
Vejamos as principais características da função exponencial:
1. f é contínua, o seu domínio é R e o seu contradomínio é ;
2. f é crescente se b > 1 e é decrescente se b < 1;
3. f (0) = 1 e f (1) = b;
4. Os gráficos de
e de
são simétricos em relação ao eixo OY;
Como exemplo, observemos os gráficos seguintes:
5. Os limites de qualquer função exponencial são:
Estes limites também serão diferentes conforme os valores de b. Observemos os seguintes gráficos, onde encontramos funções cujo valor de b é maior do que 1 ou está compreendido entre 0 e 1, e vejamos como se comporta cada tipo de função quando os valores de x aumentam ou diminuem:
No gráfico, se o valor de x aumentar cada vez mais, a função tomará valores cada vez maiores. Se o valor de x diminuir cada vez mais, a função assume valores cada vez mais pequenos e mais próximos de 0, sempre pelo lado positivo do eixo OY.
No gráfico, se o valor de x aumentar cada vez mais, a função assume valores cada vez mais pequenos e mais próximos de 0 pelo lado positivo do eixo OY. Se o valor de x diminuir a função assume valores cada vez maiores.
3-Função Logarítmica
A expressão matemática que define a função logarítmica é um logaritmo. No logaritmo a base é constante e o valor de x é o termo variável.
Chamamos logaritmo de base b > 0 à função:
de maneira que:
ou então:
Podemos definir a função logaritmo como a função inversa da função exponencial, sempre que b > 1. Os gráficos destas funções são simétricos em relação à bissectriz y = x, como podemos ver na figura:
Observando o gráfico da função logarítmica, verificamos que as principais características deste tipo de funções serão:
1. Sobre o eixo X existem três regiões ou espaços diferentes:
onde a função logarítmica não está definida,
onde o logaritmo é negativo,
onde o logaritmo tem um valor positivo;
2. A função é contínua e crescente;
3. O seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e o seu conjunto de imagens é o conjunto de todos os números reais;
4. O logaritmo de 1 na base b é igual a 0;
5. Se o valor de x se aproximar de zero pelo lado positivo do eixo OY, a função assume valores cada vez mais pequenos, ou seja:
Se o valor de x aumentar cada vez mais a função assumirá valores cada vez maiores, isto é:
Os logaritmos podem também definir-se de forma mais "aritmética", de forma a facilitar o seu cálculo. Temos que o logaritmo de um número numa base b > 1 é o expoente a que se tem de elevar a base para obter o número, isto é,
Por último, vamos enunciar algumas das propriedades algébricas particulares dos logaritmos:
1. Logaritmo de um produto:
2. Logaritmo de um quociente:
3. Logaritmo de uma potência:
4. Logaritmo de uma raíz:
5. Mudança de base de logaritmos:
4-Conclusão
Com este trabalho fiquei a saber mais sobre funções, em especial sobre os sub-temas funções exponenciais e logaritimicas.
Este tema insere-se no nosso plano curicular na discipina de matematica. E o ultimo módulo de matemática e tal como os outros importante para a realização do curso mas também para a nossa aprendizagem.
5-Bibliografia
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp4.htm
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