Geometria Analitica III- Conicas

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Geometria Analitica III- Conicas
























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Indice


Introdução

1-Elipse
1.1- Elementos
1.2- Relação fundamental
1.3- Excentricidade
1.4- Equações

2- Hipérbole
2.1- Elementos
2.2- Excentricidade
2.3- Equações

3- Hipérbole equilátera
3.1- Assíntotas da hipérbole
3.2- Equação
3.3- Parábola
3.4- Elementos
3.5- Equações

4- Conclusão

5-Bibliografia






Introdução


Este Trabalho surgiu no âmbito da disciplina de Matemática que nos é leccionada pelo professor Afrânio Almeida e tem como finalidade a reflexão do tema: Geometria Analitica III- Cónicas.

O objectivo deste trabalho é explicar a aplicação das Cónicas quando, onde e o porquê da sua aplicação.




























Cónicas

1-Elipse


Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < a2 ="b2" f1f2 =" 2c,"> a, temos e > 1.


2.3- Equações

Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox


F1 (-c, 0)
F2 ( c, 0)


Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Nessas condições, a equação da hipérbole é:





3- Hipérbole equilátera

a = b
Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:









3.1- Assíntotas da hipérbole

Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .


3.2- Equação

Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
b) eixo vertical e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

3.3- Parábola
Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.

















3.4- Elementos

Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:




foco: o ponto F
diretriz: a reta d
vértice: o ponto V
parâmetro: p
Então, temos que:
o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.
Assim, sempre temos .
DF =p
V é o ponto médio de


3.5- Equações

Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem equação e na parábola temos:
;
P(x, y);
dPF = dPd ( definição);
obtemos, então, a equação da parábola:
y2 = 2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal





Nessas condições, a equação da parábola é:
y2 = -2px


b) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

x2=2py
x2= - 2py
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical



























4- Conclusão


Com este trabalho fiquei a saber mais sobre geometria analitica, em especial sobre o sub-tema cónicas.É um tema que se insere em geomretia, calculos de ângulos…

Este tema insere-se no nosso plano curicular na discipina de matematica. E o ultimo módulo de matemática e tal como os outros importante para a realização do curso mas também para a nossa aprendizagem.










5-Bibliografia